\documentclass{article}




\usepackage{german} 
\usepackage{t1enc} 
\usepackage[latin1]{inputenc}




\begin{document}

\section {Vierpol-Theorie}

\subsection{Matrizen zur Beschreibung von Vierpolen}
\subsubsection{Kettenmatrix A}
Die Kettenmatrix wird benötigt um die Serienschaltung von Vierpolen zu berechen. Für sie gilt:
\begin{displaymath}
  \left(\begin{array}{c} 
    U_1 \\ 
    I_1
  \end{array}\right)
  = A \cdot 
  \left(\begin{array}{c}
    U_2 \\
    I_2
  \end{array}\right)
\end{displaymath}


\subsubsection{Widerstandsmatrix Z}
\begin{displaymath}
  \left(\begin{array}{c} 
    U_1 \\ 
    U_2
  \end{array}\right)
  = Z \cdot 
  \left(\begin{array}{c}
    I_1 \\
    I_2
  \end{array}\right)
\end{displaymath}


\subsubsection{Leitwertmatrix Y}
\begin{displaymath}
  \left(\begin{array}{c} 
    I_1 \\ 
    I_2
  \end{array}\right)
  = Y \cdot 
  \left(\begin{array}{c}
    U_1 \\
    U_2
  \end{array}\right)
\end{displaymath}


\subsubsection{Hybridmatrix H}
\begin{displaymath}
  \left(\begin{array}{c} 
    U_1 \\ 
    I_2
  \end{array}\right)
  = H \cdot 
  \left(\begin{array}{c}
    I_1 \\
    U_2
  \end{array}\right)
\end{displaymath}


\subsubsection{Serienparallelmatrix C}
\begin{displaymath}
  \left(\begin{array}{c} 
    I_1 \\ 
    U_2
  \end{array}\right)
  = C \cdot 
  \left(\begin{array}{c}
    I_2 \\
    U_1
  \end{array}\right)
\end{displaymath}



\subsection{Konvertierung von Vierpolmatrizen}
\begin{tabular}[t]{|c||c|c|c|c|c|}
  \hline
  a  & A & Z & Y & H & C \\ \hline\hline
  A & \(
        \left(\begin{array}{cc}
          a_{11} & a_{12} \\
          a_{21} & a_{22}
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        \frac{1}{z_{21}} \cdot
        \left(\begin{array}{cc}
          z_{11} & det(Z) \\
          1      & z_{22}
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        -\frac{1}{y_{21}} \cdot
        \left(\begin{array}{cc}
          y_{22} & 1     \\
          det(Y) & y_{11}
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        -\frac{1}{h_{21}} \cdot
        \left(\begin{array}{cc}
          det(H) & h_{11} \\
          h_{22} & 1
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        \frac{1}{c_{22}} \cdot
        \left(\begin{array}{cc}
          1      & -c_{21} \\
          det(C) & c_{12}
        \end{array}\right)
      \)                                         \\[10pt] \hline
  Z & \raisebox{-6pt}{\(
        \frac{1}{a_{21}} \cdot  
        \left(\begin{array}{cc}
          a_{11} & det(A) \\
          1      & a_{22}
        \end{array}\right)
      \)}
    & \(
        \left(\begin{array}{cc}
          z_{11} & z_{12} \\
          z_{21} & z_{22}
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        -\frac{1}{det(Y)} \cdot
        \left(\begin{array}{cc}
          y_{22} & -y_{12}     \\
          -y_{21} & y_{11}
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        -\frac{1}{h_{22}} \cdot
        \left(\begin{array}{cc}
          det(H)  & h_{12} \\
          -h_{21} & 1
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        \frac{1}{c_{12}} \cdot
        \left(\begin{array}{cc}
          1      & -c_{11} \\
          c_{22} & -det(C)
        \end{array}\right)
      \)                                         \\[10pt] \hline 
  Y & \(
        \frac{1}{a_{12}} \cdot  
        \left(\begin{array}{cc}
          a_{22} & -det(A) \\
          -1      & a_{11}
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        \frac{1}{det(Z)} \cdot
        \left(\begin{array}{cc}
          z_{22} & -z_{12} \\
          -z_{21} & z_{11}
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        \left(\begin{array}{cc}
          y_{11} & y_{12}     \\
          y_{21} & y_{22}
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        -\frac{1}{h_{11}} \cdot
        \left(\begin{array}{cc}
          1      & -h_{12} \\
          h_{21} & det(H)
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        \frac{1}{c_{21}} \cdot
        \left(\begin{array}{cc}
          -det(C) & c_{11} \\
          -c_{22} & 1
        \end{array}\right)
      \)                                         \\[10pt] \hline 

  H &  \(
        \frac{1}{a_{22}} \cdot  
        \left(\begin{array}{cc}
          a_{12} & det(A) \\
          -1     & a_{11}
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        \frac{1}{z_{22}} \cdot
        \left(\begin{array}{cc}
          det(Z)  & z_{12} \\
          -z_{21} & 1
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        \frac{1}{y_{11}}
        \left(\begin{array}{cc}
          1      & -y_{12}     \\
          y_{21} & det(Y)
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        \left(\begin{array}{cc}
          h_{11} & h_{12} \\
          h_{21} & h_{22}
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        \frac{1}{det(C)} \cdot
        \left(\begin{array}{cc}
          -c_{21} & c_{11} \\
          c_{22}  & -c{12}
        \end{array}\right)
      \)                                         \\[10pt] \hline   
 C &  \(
        \frac{1}{a_{11}} \cdot  
        \left(\begin{array}{cc}
          -det(A) & a_{21} \\
          a_{12}  & 1
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        \frac{1}{z_{11}} \cdot
        \left(\begin{array}{cc}
          -z_{12} & 1 \\
          -det(Z) & z_{21}
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        \frac{1}{y_{22}}
        \left(\begin{array}{cc}
          y_{12} & det(Y) \\
          1      & -y_{21}
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        \frac{1}{det(H)}
        \left(\begin{array}{cc}
          -h_{12} & h_{22} \\
          h_{11}  & -h_{21}
        \end{array}\right)
      \)
    & \(
        \left(\begin{array}{cc}
          c_{11} & c_{12} \\
          c_{21} & c_{22}
        \end{array}\right)
      \)                                         \\[10pt] \hline   
\end{tabular}

\subsection{Schaltungen mit Vierpolen}

\subsubsection{Kettenschaltung}
Für die Gesamtmatrix $ A_{gesamt} $ einer Kettenschaltung von $ n $ Vierpolen gilt:
\begin{displaymath}
  A_{gesamt} = \prod_{i=1}^{n}A_{i}
\end{displaymath}


\subsubsection{Parallelschaltung}
Für die Gesamtmatrix $ Y_{gesamt} $ einer Parallelschaltung von $ n $ Vierpolen gilt:
\begin{displaymath}
  Y_{gesamt} = \sum_{i=1}^{n} Y_{i}
\end{displaymath}


\subsubsection{Serienschaltung der Eingänge und Ausgänge}
Falls zwischen zwei Vierpolen, bei welchen die Ein- bzw. Ausgänge in Serie geschalten sind, kein Ausgleichsstrom $\Delta I$ fließt gilt:
\begin{displaymath}
  Z_{gesamt} = Z_{1} + Z_{2}
\end{displaymath}




\subsection{Eingangswiderstand eines Vierpols}
Der Eingangswiderstand eines Vierpols ist $ R_{in} = \frac{U_{in}}{I_{in}} $ 
\begin{itemize}
  \item{mit Kettenmaix $ A = \left( \begin{array}{cc} 
                                      a_{11} & a_{12} \\ 
                                      a_{21} & a_{22} 
                                    \end{array} \right) $ gilt:}
    \begin{displaymath}
      R_{in} = \frac{a_{11} \cdot R_{L} + a_{12}}
                         {a_{21} \cdot R_{L} + a_{22}}
    \end{displaymath}
  \item{mit Widerstandsmatrix $Z = \left( \begin{array}{cc} 
                                            z_{11} & z_{12} \\ 
                                            z_{21} & z_{22} 
                                   \end{array} \right) $ gilt:}
    \begin{displaymath}
      R_{in} = \frac{z_{11} \cdot R_{L} + det(Z)}
                         {R_{L} + z_{22}}
    \end{displaymath}
  \item{mit Leitwertmatrix $Y =\left( \begin{array}{cc} 
                                        y_{11} & y_{12} \\ 
                                        y_{21} & y_{22} 
                                      \end{array} \right) $ gilt:}
    \begin{displaymath}
      R_{in} = \frac{y_{22} \cdot R_{L} - 1}
                         {det(Y) \cdot R_{L} - y_{11}}
    \end{displaymath}
  \item{mit Hybridmatrix $H =\left( \begin{array}{cc} 
                                        h_{11} & h_{12} \\ 
                                        h_{21} & h_{22} 
                                      \end{array} \right) $ gilt:}
    \begin{displaymath}
      R_{in} = \frac{det(H) \cdot R_{L} - h_{11}}
                         {h_{22} \cdot R_{L} - 1}
    \end{displaymath}   
\end{itemize}




\subsection{Übertragungsfunktion und Leistungskoeffizient eines Vierpols}
Die Übertragungsfunktionen eines Vierpols sind zum einen $F(\omega) = \frac{U_{out}}{U_{in}}$ und zum andern $G(\omega) = \frac{I_{out}}{I_{in}}$. Als Leistungskoeffizient ergibt sich dann das Produkt von $F$ und $G$ als $P(\omega) = \frac{U_{out} \cdot I_{out}}{U_{in} \cdot I_{in}}$. 
\begin{itemize}
    \item{mit Kettenmaix $ A = \left( \begin{array}{cc} 
                                      a_{11} & a_{12} \\ 
                                      a_{21} & a_{22} 
                                    \end{array} \right) $ gilt:}
    \begin{eqnarray*}
      F(\omega) &=& \frac{R_{L}}{a_{11} \cdot R_{L} + a_{12}}                                        \\ 
      G(\omega) &=& \frac{1}{a_{21} \cdot R_{L} + a_{22}}                                            \\
      P(\omega) &=& \frac{R_{L}}
                         {a_{11}\overline{a_{21}} \cdot \left| R_{L} \right|^{2} 
                           + a_{11}\overline{a_{22}} \cdot R_L  
                           + a_{12}\overline{a_{21}} \cdot \overline{R_L} 
                           + a_{12}\overline{a_{22}}}                                                           
    \end{eqnarray*}
    
  \item{mit Widerstandsmatrix $Z = \left( \begin{array}{cc} 
                                            z_{11} & z_{12} \\ 
                                            z_{21} & z_{22} 
                                   \end{array} \right) $ gilt:}
    \begin{eqnarray*}
      F(\omega) &=& \frac{z_{21} \cdot R_{L}}{det(Z) + z_{11} \cdot R_{L}}                            \\
      G(\omega) &=& \frac{z_{21}}{R_{L} + z_{22}}                                                     \\ 
      P(\omega) &=& \frac{\left|z_{21}\right|^2 \cdot R_{L}}
                         {z_{11} \cdot \left|R_{L}\right|^2 
                           + z_{11}\overline{z_{22}} \cdot R_L
                           + det(Z)\overline{R_L}
                           + det(Z)\overline{z_{22}}} 
    \end{eqnarray*}
  \item{mit Leitwertmatrix $Y =\left( \begin{array}{cc} 
                                        y_{11} & y_{12} \\ 
                                        y_{21} & y_{22} 
                                      \end{array} \right) $ gilt:}
    \begin{eqnarray*}
      F(\omega) & = & - \frac{y_{21} \cdot R_{L}}
                             {y_{22} \cdot R_{L} + 1}              \\
      G(\omega) & = & - \frac{y_{21}}{det(Y) \cdot R_{L} + y_{11}} \\
      P(\omega) & = & \frac{\left|y_{21}\right|^2 \cdot R_{L}}
                        {y_{22} \cdot \overline{det(Y)} \cdot \left|R_{L}\right|^2 
                          + \overline{y_{11}}y_{22} \cdot R_L
                          + \overline{det(Y) \cdot R_L}
                          + \overline{y_{11}}}
    \end{eqnarray*}
  \item{mit Hybridmatrix $H =\left( \begin{array}{cc} 
                                        h_{11} & h_{12} \\ 
                                        h_{21} & h_{22} 
                                      \end{array} \right) $ gilt:}
    \begin{eqnarray*}
      F(\omega) &=& - \frac{h_{21} \cdot R_{L}}
                           {det(H) \cdot R_{L} + h_{11}}                                               \\
      G(\omega) &=& - \frac{h_{21}}{h_{22} \cdot R_{L} + 1}                                            \\
      P(\omega) &=& \frac{\left|h_{21}\right|^2 \cdot R_{L}}
                         {\overline{h_{22}} \cdot det(H) \cdot \left|R_{L}\right|^2 
                           + det(H) \cdot R_L
                           + h_{11}\overline{h_{22}} \cdot \overline{R_L} 
                           + h_{11}}
    \end{eqnarray*}   
\end{itemize}
\end{document}
